Un espacio vectorial es aquel conjunto de elementos llamados vectrores que cumplen con las siguientes propiedades:
Para todo u, v elementos de V / u y v existen en los reales. 1) tenga la propiedad conmutativa u + v = v + u
2) tenga la propiedad asociativa (u + v)+ w = u + (v + w)
3) tenga elemento neutro: 0 u + 0v = u
4) tenga elemento opuesto u + up (-u) = Ov
5) tenga operación externa: Sea k un escalar / k . v elementos de V
Ahora bien, un subespacio es muy utilizado en muchos cálculos, estos son subconjuntos de los espacios vectoriales, y poseen sus mismas propiedades, pero para demostrarlo:
COMBINACIÓN LINEAL-COORDENADAS DE UN VECTOR
Una combinación lineal significa poner a un vector en función de otro grupo de vectores.
(a,b,c) = m (d,e,f) + n (g,h,i) .... etc siendo n y m escalares
Ahora para sacar las coordenadas de un vector ese grupo de vectores en base a los cuales se va a creas la combinación lineal debe de ser una base de un subespacio o escpacio vectorial.
DEPENDENCIA E INDEPANDENCIA LINEAL
Ahora bien una base es base cuando ese grupo de vectores satisfacen dos características:
-Generan al subespacio (sacas la cápsula) -Son linealmente independientes.
Este último punto se lo trata en el siguiente video:
CÁPSULA
Es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un espacio. También se dice que es igual al subespacio vectorial y que reúne las restricciones de dicho espacio.
BASE-DIMENSIÓN
Una base es un conjunto de vectores representantes del subespacio vectorial, para que este conjunto de vectores sea base debe cumplir que sea L.I. y que genere a dicho espacio, sin embargo la obtención de la base depende del dato que nos den: Así, si nos dan el grupo de vectores: -Sacamos la cápsula, eso quiere decir que dicho conjunto es el conjunto generador del espacio (primera condición) -Para demostrar que es LI primero quiero introducir el concepto de DIMENSIÓN que es el número de vectores que posee la base de un subespacio vectorial. Ahora si bien el número de vectores que tengo en mi grupo es igual al número de vectores de la base del subespacio mi grupo es LI (por un teorema), pero cómo sé cuál es la dimensión de mi subespacio, pues bien la dimensión de un espacio vectorial es igual al preestablecido para el espacio (Rn= n, Pn(t)= n + 1, M mxn = mxn) menos el número de restricciones halladas en la cápsula, así si mi espacio es R3 serán 3-#de restricciones. Si no hay restricciones entonces el subespacio es igual al espacio.
Si nos dan la cápsula tendremos que:
-Hallar las restricciones (suelen estar maquilladas) W= {(x,y,z) / y=2x-z] No es el caso, pero puede pasar. -Reemplazar las restricciones W= {(x,2x-z,z) / x y z existen en R] -Contar el número de variables x uno, z dos -Descomponer en suma de vectores de acuerdo al número de variables W= { (x,2x,0) + (0,-z,z) / x y z existen en R} -Extraemos las variables W= [ x(1,2,0) + z(0,-1,1) / x y z existen en los reales} -Escribimos el conjunto generador S= { (1,2,0),(0,-1,1)}
Luego está demostrado que genera al espacio pero es LI?? Para esto aplicamos de nuevo el teorema de las dimensiones contando el número de vectores obtenidos, y el número de las restricciones existentes en la cápsula.
PRODUCTO INTERNO
Puede ser usual o no usual, el usual es exactamente igual al que se realiza normalmente en física con los vectores, y en este curso unicamente trabajaremos con el producto escalar.
Donde
x1 = variable
a1 = coeficiente
b = constante
En cuanto tengan solución hay sistemas de ecuaciones homogéneos y heterogéneos:
SISTEMAS HOMOGÉNEOS: Son aquellos cuya constante es siempre igual a cero, y su criterio de solución se da como:
Si el numero de ecuaciones consistentes y útiles es igual al número de variables entonces se dice que tiene una única solución trivial es decir cada variable valdrá cero. De no darse de esa forma tendrá infinitas soluciones.
SISTEMAS HETEROGÉNEOS: Son aquellos en los que la constante (b) es diferente de cero, estos sistemas pueden tener una solución única diferente de la trivial, o pueden tener infinitas soluciones, igual que en caso de los homogéneos el criterio se da tomando en cuenta el número de ecuaciones válidas con el número de incógnitas; si coinciden entonces tiene única solución no trivial, si no existen infinitas soluciones.
Ahora ¿cómo obtengo el número de ecuaciones válidas?
Si al utilizar el método de Gauss que se explica a continuación se obtiene una fila de ceros, quiere decir que esa ecuación era combinación lineal de una o varias de las anteriores, es decir no ayudaba a la resolución del ejercicio:
Gauss es preferible cuando al contar el número de ecuaciones y de incógnitas resulta ser el mismo, sin embargo puede ser que al finalizar el proceso se obtuviera la fila de ceros ya mencionada, entonces habría infinitas soluciones y para ese caso se prefiriría seguir el proceso de reducción por filas a la matriz esto nos ayudaría puesto que dejamos la respuesta en función de una de las variables, este proceso es el llamado proceso de Gauss-Jordan; también recurriremos a este proceso si al contar el número de varibales es diferente al número de ecuaciones.
CRAMER
Ahora bien si resulta que el sistema de ecuaciones forma una matriz cuadrada, es mucha más sencillo usar el método de CRAMER, para esto obtenemos el determinante de la matriz de coeficientes, y debe cumplir que sea DIFERENTE de cero.
Los determinantes son muy parecidos a las matrices; pero no debemos confundirnos, en las matrices sólo existen operaciones internas de filas, con los determinantes podemos trabajar con columnas, para diferenciarlos hay un gráfico de un determinante:
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE DETERMINANTES
Hay muchos métodos para calcular determinantes, están el de la estrella,
por menores,
y el más usado es el de Sarrus que se explica en el video:
INVERSA POR DETERMINANTES
Este es un método nuevo para calcular la inversa de un matriz:
PASOS:
-Expresamos la matriz deseada como determinante, y calculamos el determinante por cualquier método deseado. Si el determinante es diferente de cero, es posible calcular su inversa.
-Luego formamos la matriz de cofactores, sacamos su transpuesta, y se forma la adjunta
-Finalmente dividimos la matriz adjunta para el determinante que sacamos en un inicio.
Hay diferentes tipos de matrices, hay matrices escalares: el único elemento no nulo de cada fila es aquel en donde n=m, y este siempre es el mismo; las hay unitarias: que es una matriz escalar cuyo elemento no nulo es el uno.
Matriz escalar
Matriz Unitaria
Y las hay de otros tipos; sin embargo, dos matrices muy importantes son la traspuesta y la triangular, Matriz traspuesta La traspuesta de una matriz se construye al intercambiar la primera fila con la primera columna, como se puede ver en la figura.
Normalmente se la construye para poder utilizarla para obtener la inversa de una matriz (método de determinantes).
Matriz triangular
Matriz cuadrada que sólo tiene registros cero arriba (matriz triangular inferior) o abajo (matriz triangular superior) de la diagonal principal (de la parte superior izquierda a la inferior derecha). Si todos los registros, excepto los de la diagonal principal, son cero, la matriz es una matriz diagonal.
El determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus elementos diagonales.
Su determinante es = 6 x 5 x 1 = 20
Esta matriz es utilizada en las propiedades de determinantes.
OPERACIONES CON MATRICES
También se pueden realizar operaciones con matrices, podemos sumar y restar:
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
OPERACIONES DE FILA
Pero las operaciones más importantes son las que se dan en la matriz misma: las operaciones elementales de fila, entre las operaciones elementales de fila estan:
-La suma de filas
-La multiplicación de filas por un escalar
-El intercambio de filas
Todas estas operaciones se muestran en el siguiente video
MATRIZ ESCALONADA
Ahora con las operaciones elementales de fila podemos tratar las matrices para escalonarlas, una matriz escalonada es aquella en la que el primer elemento no nulo de una fila está siempre a la derecha del elemento no nulo de la fila superior; este proceso en el futuro ayudara a la solución de sistemas de ecuaciones.
Un ejemplo de la escalonación de matrices es el video que se muestra a continuación:
MATRIZ REDUCIDA POR FILAS
una matriz puede operarse hasta obtener una matriz reducida por filas, el primer elemento no nulo de la fila (pivote), es siempre iguala uno, y además es el único elemento no nulo de toda su fila. Esto es importante para la resolución de sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones, en el método de Gauss Jordan.
El video a continuación lo ilustra:
INVERSA DE UNA MATRIZ
Con las operaciones de filas también podemos encontrar la inversa de la matriz, es muy fácil tenemos que formar la matriz identidad a lado de la matriz cuya inversa queremos sacar, y luego reducimos por filas a la matriz inicial, y lo que nos queda de la matriz que adjuntamos es la matriz inversa, el video lo ilustra mejor:
