ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial es aquel conjunto de elementos llamados vectrores que cumplen con las siguientes propiedades:

Para todo u, v elementos de V / u y v existen en los reales.
1) tenga la propiedad conmutativa u + v = v + u

2) tenga la propiedad asociativa (u + v)+ w = u + (v + w)

3) tenga elemento neutro: 0 u + 0v = u

4) tenga elemento opuesto u + up (-u) = Ov

5) tenga operación externa: Sea k un escalar / k . v elementos de V

Ahora bien, un subespacio es muy utilizado en muchos cálculos, estos son subconjuntos de los espacios vectoriales, y poseen sus mismas propiedades, pero para demostrarlo:



COMBINACIÓN LINEAL-COORDENADAS DE UN VECTOR

Una combinación lineal significa poner a un vector en función de otro grupo de vectores.

(a,b,c) = m (d,e,f) + n (g,h,i) .... etc siendo n y m escalares

Ahora para sacar las coordenadas de un vector ese grupo de vectores en base a los cuales se va a creas la combinación lineal debe de ser una base de un subespacio o escpacio vectorial.



DEPENDENCIA E INDEPANDENCIA LINEAL

Ahora bien una base es base cuando ese grupo de vectores satisfacen dos características:

-Generan al subespacio (sacas la cápsula)
-Son linealmente independientes.

Este último punto se lo trata en el siguiente video:



CÁPSULA

Es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un espacio.
También se dice que es igual al subespacio vectorial y que reúne las restricciones de dicho espacio.

BASE-DIMENSIÓN

Una base es un conjunto de vectores representantes del subespacio vectorial, para que este conjunto de vectores sea base debe cumplir que sea L.I. y que genere a dicho espacio, sin embargo la obtención de la base depende del dato que nos den:
Así, si nos dan el grupo de vectores:
-Sacamos la cápsula, eso quiere decir que dicho conjunto es el conjunto generador del espacio (primera condición)
-Para demostrar que es LI primero quiero introducir el concepto de DIMENSIÓN que es el número de vectores que posee la base de un subespacio vectorial. Ahora si bien el número de vectores que tengo en mi grupo es igual al número de vectores de la base del subespacio mi grupo es LI (por un teorema), pero cómo sé cuál es la dimensión de mi subespacio, pues bien la dimensión de un espacio vectorial es igual al preestablecido para el espacio (Rn= n, Pn(t)= n + 1, M mxn = mxn) menos el número de restricciones halladas en la cápsula, así si mi espacio es R3 serán 3-#de restricciones.
Si no hay restricciones entonces el subespacio es igual al espacio.

Si nos dan la cápsula tendremos que:

-Hallar las restricciones (suelen estar maquilladas)
W= {(x,y,z) / y=2x-z]
No es el caso, pero puede pasar.
-Reemplazar las restricciones
W= {(x,2x-z,z) / x y z existen en R]
-Contar el número de variables
x uno, z dos
-Descomponer en suma de vectores de acuerdo al número de variables
W= { (x,2x,0) + (0,-z,z) / x y z existen en R}
-Extraemos las variables
W= [ x(1,2,0) + z(0,-1,1) / x y z existen en los reales}
-Escribimos el conjunto generador
S= { (1,2,0),(0,-1,1)}

Luego está demostrado que genera al espacio pero es LI??
Para esto aplicamos de nuevo el teorema de las dimensiones contando el número de vectores obtenidos, y el número de las restricciones existentes en la cápsula.



PRODUCTO INTERNO

Puede ser usual o no usual, el usual es exactamente igual al que se realiza normalmente en física con los vectores, y en este curso unicamente trabajaremos con el producto escalar.