SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ecuación Lineal, es una expresión del tipo:

a1x1+a2x2+...+anxn = b

Donde
x1 = variable
a1 = coeficiente
b = constante

En cuanto tengan solución hay sistemas de ecuaciones homogéneos y heterogéneos:

SISTEMAS HOMOGÉNEOS: Son aquellos cuya constante es siempre igual a cero, y su criterio de solución se da como:
Si el numero de ecuaciones consistentes y útiles es igual al número de variables entonces se dice que tiene una única solución trivial es decir cada variable valdrá cero. De no darse de esa forma tendrá infinitas soluciones.

SISTEMAS HETEROGÉNEOS: Son aquellos en los que la constante (b) es diferente de cero, estos sistemas pueden tener una solución única diferente de la trivial, o pueden tener infinitas soluciones, igual que en caso de los homogéneos el criterio se da tomando en cuenta el número de ecuaciones válidas con el número de incógnitas; si coinciden entonces tiene única solución no trivial, si no existen infinitas soluciones.

Ahora ¿cómo obtengo el número de ecuaciones válidas?
Si al utilizar el método de Gauss que se explica a continuación se obtiene una fila de ceros, quiere decir que esa ecuación era combinación lineal de una o varias de las anteriores, es decir no ayudaba a la resolución del ejercicio:



Gauss es preferible cuando al contar el número de ecuaciones y de incógnitas resulta ser el mismo, sin embargo puede ser que al finalizar el proceso se obtuviera la fila de ceros ya mencionada, entonces habría infinitas soluciones y para ese caso se prefiriría seguir el proceso de reducción por filas a la matriz esto nos ayudaría puesto que dejamos la respuesta en función de una de las variables, este proceso es el llamado proceso de Gauss-Jordan; también recurriremos a este proceso si al contar el número de varibales es diferente al número de ecuaciones.



CRAMER

Ahora bien si resulta que el sistema de ecuaciones forma una matriz cuadrada, es mucha más sencillo usar el método de CRAMER, para esto obtenemos el determinante de la matriz de coeficientes, y debe cumplir que sea DIFERENTE de cero.